Ecriture d'un entier en base b

Rappel sur la base 10

En base $10$ usuelle, l'écriture $3452$ signifie $3\times 10^3 + 4 \times 10^2 + 5 \times 10^1 + 2 \times 10^0$.

Dans cette base, les chiffres sont : $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$ et $9$.

Généralisation

De façon plus générale, si l'on note $c_0$ le chiffre des unités de l'entier $n$, $c_1$ le chiffre des dizaines, $c_2$ le chiffre des centaines, etc... alors n'importe quel entier $n$ s'écrit sous la forme :
$$ n = c_0 + c_1\times 10 + c_2 \times 10^2 + c_3\times 10^3 + \dots $$ où chaque coefficient $c_i$ est l'un des chiffres.

Remarque

L'écriture en base dix d'un entier est aussi appelée écriture décimale de cet entier. Il ne faut pas confondre cette appellation avec l'expression « nombre décimal » : dans ce chapitre, nous abordons uniquement les entiers naturels (positifs).

En base b

Définition

On appelle base d'un système de numération de position, le nombre de chiffres distincts permettant l'écriture de n'importe quel nombre entier naturel.

Soit $b$ un entier naturel ($b \geqslant 2$). On peut écrire un entier naturel en base $b$ en utilisant le même principe qu'en base $10$.
Ainsi, tout entier naturel $n$ s'écrit sous la forme $$ n = c_0 + c_1 \times b + c_2 \times b^2 + c_3 \times b^3 + \dots $$ où chaque coefficient $c_i$ est à prendre dans la liste des chiffres : $0, 1, 2, \dots, b-1$.

En base $b$ :

• le coefficient $c_0$ (coefficient de $b^0$) est appelé chiffre de poids $0$.
  En base 10 le chiffre de poids 0 est donc le chiffre des unités.

• le coefficient $c_1$ (coefficient de $b^1$) est appelé chiffre de poids $1$.
  En base 10 le chiffre de poids 1 est donc le chiffre des dizaines

• le coefficient $c_2$ (coefficient de $b^2$) est appelé chiffre de poids $2$.
  En base 10 le chiffre de poids 2 est donc le chiffre des centaines.

• etc...