Python en Mathématiques - Niveau 2

Canonisons

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Deux fonctions du second degré

On considère le script python suivant :


# import d'un module pour tirage au hasard
from random import randint
# import d'un module pour tracer de courbes :
from matplotlib.pyplot import *

#----- Définition des fonctions -----##
def f(x) :
	return a * x**2 + b * x + c
	
def g(x) :
	alpha = -b/(2*a)
	omega = -(b**2 - 4*a*c)/(4*a)
	return a * (x - alpha)**2 + omega
	
# tirage de a au hasard, entier entre -10 et 10 - analogue pour b et c.
a = randint(-10,10)
b = randint(-10,10)
c = randint(-10,10)

# liste d'entiers de -20 à 20 :
X = [ x for x in range(-20, 20) ]

# liste des images par f :
Yf = [ f(x) for x in X]

# liste des images par g :
Yg = [ g(x) for x in X]

# tracé d'une courbe (x,f(x)) pour x dans X en rouge
# tracé d'une courbe (x,g(x)) pour x dans X en bleu
plot(X, Yf, 'r--',X, Yg, 'b*')
show()
  1. Exécuter ce script à plusieurs reprises.
    Quelle conjecture peut-on émettre à partir des affichages obtenus ?
  2. Proposer une démonstration de cette conjecture.
  • Question 1
  • Question 2

Conjecture possible.

Pour tous réels $a$, $b$, $c$ : $$ \forall x \in \mathbb{R}, ax^2+bx+c = a \times ( x- \alpha )^2 + \omega $$ où $ \alpha = \frac{-b}{2a} $ et $ \omega = - \frac{b^2-4ac}{4a} $.

Il s'agit ici d'effectuer un calcul algébrique (développement et simplification).

$$ \begin{align*} a \times\left( x- \alpha \right)^2 + \omega &= a \times\left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{-b^2+4ac}{4a} \\ &= a \times\left( x^2 + x\frac{b}{a} + \frac{b^2}{4a^2} \right) + \frac{-b^2+4ac}{4a} \\ &= \left( a x^2 + b x + \frac{b^2}{4a } \right) + \frac{-b^2+4ac}{4a} \\ &= a x^2 + b x + \frac{ 4ac}{4a} \\ &= a x^2 + b x + c \end{align*} $$