Python en mathématiques - Niveau 2

Statistiques et probabilités

Les algorithmes ayant trait au statistiques et probabilités consistent souvent à utiliser les listes ou à simuler des expériences aléatoires. Dans ce second cas, en Python, on fera généralement appel au fonctions random() ou randint() du module random (à importer en début de programme).

Simulation

On considère la proposition suivante : «environ 17% des Français sont gauchers ».

  1. Écrire le code d'une fonction nommée gaucher() qui respecte la spécification suivante :
    Paramètres aucun
    Valeur renvoyée 1 dans 17% des cas, 0 sinon.
  2. Écrire une fonction repete() qui respecte la spécification suviante :
    Paramètres un entier naturel $n$
    Valeur renvoyée fréquence $f$ de gauchers dans un échantillon de taille $n$
  3. Écrire le code d'une fonction nommée Nrepete() qui simule $N$ échantillons de taille $n$ de l'expérience et qui respecte la spécification suivante :
    Paramètres $n$ et $b$ deux nombres entiers naturels
    Valeur renvoyée proportion d'échantillons por lesquels l'écart entre 0,17 et $f$ est inférieur à $\frac{1}{\sqrt{n}}.$
  • Questions 1°/
  • Questions 2°/
  • Questions 3°/

			
			

			
			

			
			

Monte-Carlo

On souhaite calculer l’aire de la surface colorée ci-contre, délimitée par la courbe de la fonction carré, l’axe des abscisses et les droites d’équations $x = 0$ et $x = 1$. Cette surface, notée $\mathcal{P}$, est contenue dans un carré ABCD de côté 1 que l’on a représenté ci-contre.

On admet que l’on peut approcher l’aire de $\mathcal{P}$ par la proportion de points du carré ABCD appartenant à $\mathcal{P}$, lorsque l’on a choisi aléatoirement un très grand nombre de points dans le carré ABCD.

  1. Écrire le code d'une fonction nommée aire_sous_parabole() qui respecte la spécification suivante :
    Paramètre un entier naturel n
    Valeur renvoyée proportion des points de $\mathcal{P}$ parmi $n$ points génrés aléatoirement à l'intérieur du carré ABCD.
  2. Vérifier que plus $n$ augmente, plus la valeur renvoyée par l'appel aire_sous_parabole(n) s'approche de 0.33.
  3. À l'aide du module matplotlib, représenter graphiquement cette simulation. Avec 1000 points simulés, on pourra obtenir une représentation graphique comme celle-ci :
  • Questions 1°/ et 2°/
  • Questions 3°/

			
			
from random import *
import matplotlib.pyplot as plt

def aire_sous_parabole(n):
    S = 0
    sous_X, sous_Y = [], []
    sur_X, sur_Y = [], []
    for k in range(n):
        x = random()
        y = random()
        if y < x**2:
            S = S+1
            sous_X.append(x)
            sous_Y.append(y)
        else:
            sur_X.append(x)
            sur_Y.append(y)
    plt.plot(sous_X, sous_Y, marker='o', color='b', markersize=2, linestyle='')
    plt.plot(sur_X, sur_Y, marker='s', color='r', markersize=2, linestyle='')
    plt.show()
    return S/n
    

Autres algorithmes au programme

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Représenter par un histogramme ou par un nuage de points les fréquences observées des 1 dans N échantillons de taille n d’une loi de Bernoulli.
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Simulation d’une marche aléatoire
Simuler N échantillons de taille n d’une variable aléatoire d’espérance µ et d’écart type σ. Calculer l’écart type s de la série des moyennes des échantillons observés, à comparer à $\frac{\sigma}{n}.$ Calculer la proportion des échantillons pour lesquels l’écart entre la moyenne et µ est inférieur ou égal à ks, ou à $\frac{k\sigma}{n},$ , pour k = 1, 2, 3.

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Thème d'étude Exemples d’algorithme
Répétition d'expériences indépendantes, échantillonnage Fonction Python renvoyant une moyenne pour un échantillon.
Série des moyennes pour N échantillons de taille n d’une variable aléatoire d’espérance µ et d’écart type σ. Calcul de l’écart type s de la série des moyennes des échantillons observés, à comparer à $\frac{\sigma}{n}.$ Calcul de la proportion des cas où l’écart entre la moyenne m et µ est inférieur ou égal à $\frac{k\sigma}{n}$ ou à ks, pour k = 2 ou k = 3.
Thème d'étude Exemples d’algorithme
Thème d'étude Simulation d’une variable aléatoire de loi géométrique à partir du schéma de Bernoulli.
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